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Tire o côte de boeuf do frigorífico pelo menos 1 hora antes de cozinhar, para que fique à temperatura ambiente. Seque-o bem com papel de cozinha e tempere por todos os lados com flocos de sal marinho e pimenta preta moída na hora.
Aqueça uma frigideira de fundo espesso em lume alto até começar a fumegar. Adicione o azeite e deixe-o aquecer até cintilar.
Coloque cuidadosamente o côte de boeuf temperado na frigideira quente. Sele-o durante 3 a 4 minutos de um lado, até formar uma crosta bem dourada; vire-o e sele-o por mais 3 a 4 minutos do outro lado. Segure depois o bife na vertical com umas pinças e sele as bordas gordas durante cerca de 1 minuto de cada lado.
Reduza o lume para médio, adicione a manteiga sem sal, os dentes de alho ligeiramente esmagados, os ramos de tomilho e os ramos de alecrim. Incline ligeiramente a frigideira e regue continuamente o bife com a manteiga derretida e os aromas durante 5 a 7 minutos.
Insira um termómetro de carne na parte mais espessa do bife (longe do osso) e procure 63 °C para um ponto mal passado; se o preferir mais passado ou se o bife for muito grosso, leve a frigideira a um forno pré-aquecido a 180 °C (160 °C com ventoinha) por mais 10 a 15 minutos.
Transfira o côte de boeuf para um prato ou tábua quente, cubra-o ligeiramente com folha de alumínio e deixe-o repousar 10 a 15 minutos para que os sumos se redistribuam.
Fatie o côte de boeuf contra a fibra, retire o osso, regue com os sumos que ficaram na frigideira e sirva com os acompanhamentos a gosto.