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Sortez la côte de bœuf du réfrigérateur au moins une heure avant la cuisson pour qu'elle soit à température ambiante, puis séchez-la soigneusement avec du papier absorbant et assaisonnez-la sur toutes ses faces de flocons de sel de mer et de poivre noir fraîchement moulu.
Faites chauffer une poêle à fond épais à feu vif jusqu'à ce qu'elle fume, ajoutez l'huile d'olive et laissez-la chauffer jusqu'à ce qu'elle scintille.
Déposez délicatement la côte de bœuf assaisonnée dans la poêle très chaude et saisissez-la pendant 3 à 4 minutes sur la première face, jusqu'à l'apparition d'une croûte brun doré ; retournez-la et saisissez l'autre face pendant 3 à 4 minutes, puis maintenez la pièce debout à l'aide de pinces pour saisir les bords gras environ une minute de chaque côté.
Réduisez à feu moyen, ajoutez le beurre doux, les gousses d'ail légèrement écrasées, les brins de thym et de romarin. Inclinez la poêle et arrosez continuellement la côte de bœuf avec le beurre fondu et les aromates pendant 5 à 7 minutes.
Enfoncez un thermomètre à viande dans la partie la plus épaisse de la côte (sans toucher l'os) et visez 63 °C pour une cuisson rosée ; si vous la préférez plus cuite ou si la pièce est particulièrement épaisse, enfournez la poêle dans un four préchauffé à 180 °C (160 °C en chaleur tournante) pour 10 à 15 minutes supplémentaires.
Transférez la côte de bœuf sur un plat chaud ou une planche, couvrez-la légèrement de papier aluminium et laissez-la reposer 10 à 15 minutes pour que les jus se redistribuent.
Tranchez la côte de bœuf contre le grain, détachez l'os, arrosez-la des jus restants et servez avec l'accompagnement de votre choix.