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Si vous n'avez pas acheté de filets de cabillaud déjà dessalés, plongez-les dans de l'eau froide pendant 48 h en changeant l'eau toutes les 8 h. Égouttez-les et séchez-les soigneusement avec du papier absorbant.
Dans une cocotte en terre cuite ou une poêle à fond épais, faites chauffer 500 ml d'huile d'olive extra vierge à feu très doux (60-70 °C), puis faites confire les filets de cabillaud, peau vers le haut, pendant 8 à 10 min, jusqu'à ce qu'ils libèrent leur gélatine. Retirez-les et réservez-les.
Augmentez le feu à moyen-doux, ajoutez les gousses d'ail émincées et les piments de Cayenne secs, puis faites-les dorer doucement pendant 2 à 3 min, jusqu'à ce qu'ils soient parfumés sans les brûler. Retirez-les et réservez-les.
Laissez l'huile tiédir pendant 5 min. Hors du feu (ou sur le plus petit foyer), incorporez progressivement le jus gélatineux rendu par le cabillaud. À l'aide d'un tamis fin ou de fouets, émulsionnez en effectuant des mouvements circulaires et continus jusqu'à obtention d'une sauce onctueuse. Si la sauce tranche, ajoutez une cuillère à café d'eau froide et continuez à battre.
Remettez les filets de cabillaud dans la cocotte, peau vers le bas, et réchauffez-les pendant 2 min en inclinant légèrement la cocotte pour bien les napper de sauce.
Servez immédiatement en décorant les filets avec les gousses d'ail et les piments réservés, et accompagnez-les de pain pour tremper dans la sauce.