Precalienta el horno a 180 °C (160 °C con ventilador) y engrasa un molde rectangular (aprox. 25 cm de largo). Forra el molde con papel de hornear dejando que sobresalga por los lados largos.
Pela los plátanos, colócalos en un bol y aplástalos con un tenedor hasta obtener un puré con algunos grumos. Reserva.
En un bol grande, bate la mantequilla sin sal (a temperatura ambiente) con el azúcar blanca hasta que la mezcla quede suave, de color pálido y esponjosa. Puedes usar una batidora eléctrica o unas varillas manuales.
Incorpora los huevos grandes uno a uno, mezclando bien después de cada adición. Si la masa se corta, añade una cucharada de harina y sigue batiendo.
Tamiza la harina con levadura incorporada, el bicarbonato de sodio y la sal en un bol aparte para mezclarlos de forma homogénea.
Añade al bol con la mantequilla y el azúcar los ingredientes secos, el puré de plátano y el extracto de vainilla. Mezcla con una espátula con movimientos envolventes hasta que no queden rastros de harina.
Vierte la masa en el molde preparado, alisa la superficie y hornea de 50 a 60 minutos, o hasta que esté dorado y al insertar un palillo en el centro éste salga limpio. Si se dora demasiado rápido, cúbrelo con papel de aluminio en los últimos 10–15 minutos.
Deja reposar el bizcocho en el molde durante 10–15 minutos. Luego, con ayuda del papel de hornear, desmóldalo y pásalo a una rejilla para que enfríe por completo.