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Corta las berenjenas a lo largo en láminas de unos 5 mm de grosor, colócalas en una bandeja y espolvoréalas por ambos lados con sal marina fina. Déjalas reposar de 30 a 60 minutos hasta que suelten gotas de humedad y sécalas con papel de cocina.
Calienta 1 cucharada de aceite de oliva en una cazuela mediana a fuego medio. Añade los dientes de ajo machacados y sofríelos durante aproximadamente 1 minuto, hasta que desprendan aroma. Incorpora el tomate triturado, el concentrado de tomate y el azúcar. Cuando empiece a hervir suavemente, baja el fuego al mínimo y deja cocer durante 20-25 minutos, removiendo de vez en cuando, hasta que la salsa espese ligeramente. Agrega la mayor parte de las hojas de albahaca fresca (desgarradas con la mano) y sazona con sal y pimienta negra recién molida. Retira del fuego y reserva.
Calienta 2-3 cucharadas de aceite de oliva en una sartén grande a fuego medio-alto. En tandas, fríe las láminas de berenjena 2-3 minutos por cada lado, hasta que estén doradas y tiernas; añade más aceite si fuera necesario. Colócalas en un plato forrado con papel de cocina para escurrir el exceso de aceite.
Precalienta el horno a 180 °C (160 °C con ventilador).
Cubre el fondo de una fuente apta para horno de 20 x 30 cm con una capa fina de salsa de tomate. Coloca una capa de berenjenas fritas, reparte trocitos de mozzarella y espolvorea parmesano rallado. Repite las capas de salsa, berenjena, mozzarella y parmesano, terminando con salsa, mozzarella y parmesano por encima.
Hornea durante 35-40 minutos, hasta que la superficie esté dorada y burbujeante.
Deja reposar las berenjenas a la parmesana 10-15 minutos antes de servir.