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Auberginen waschen und der Länge nach halbieren. Das Auberginenfleisch mit einem Löffel herauslösen, dabei einen Rand von etwa 1 cm stehen lassen, und das Fleisch fein hacken.
Die ausgehöhlten Auberginenhälften mit Salz bestreuen und mit der Schnittseite nach unten auf Küchenpapier 15–20 Minuten abtropfen lassen. Anschließend trocken tupfen.
Den Backofen auf 180 °C (Ober- und Unterhitze) vorheizen. Die Auberginenhälften mit der Schnittfläche nach oben auf ein mit Backpapier ausgelegtes Backblech legen und 20–25 Minuten backen, bis sie weich sind.
In einer Pfanne bei mittlerer Hitze etwas Olivenöl extra vergine erhitzen. Die gehackte Zwiebel darin 5–7 Minuten glasig dünsten.
Den Knoblauch hinzufügen und 1 Minute mitdünsten. Das Rinderhackfleisch zufügen, mit einem Kochlöffel zerkleinern und 8–10 Minuten braten, bis es leicht gebräunt ist.
Das gehackte Auberginenfleisch dazugeben und weitere 5 Minuten mitbraten. Dann die passierten Tomaten (oder selbstgemachte Tomatensoße) einrühren und bei schwacher Hitze 10–15 Minuten köcheln lassen, bis die Sauce eindickt. Mit Salz und Pfeffer abschmecken.
Für die Béchamelsauce in einem Topf die Butter bei mittlerer Hitze schmelzen. Das Mehl einstreuen und 1–2 Minuten unter Rühren anschwitzen. Nach und nach die warme Vollmilch unter ständigem Rühren hinzufügen und 5–7 Minuten köcheln lassen, bis die Sauce andickt. Mit Salz, Pfeffer und einer Prise Muskatnuss würzen.
Die Fleischmischung in die Auberginenhälften füllen. Die Béchamelsauce darübergeben und mit dem geriebenen Käse bestreuen.
Die Ofentemperatur auf 200 °C (Ober- und Unterhitze) erhöhen und die Auberginen 15–20 Minuten backen, bis der Käse goldbraun und blubbernd ist. Bei Bedarf die letzten 5 Minuten die Grillfunktion einschalten.
Heiß servieren. Reste bis zu 2–3 Tage im Kühlschrank aufbewahren und im Ofen oder in der Mikrowelle wieder erwärmen.